பரப்பு
பரப்பு - சதுரம், செவ்வகம், முக்கோணம், வட்டம் மற்றும் பிற வடிவங்களின் பரப்பளவு கணக்கிடும் முறைகள்
கற்றல் உள்ளடக்கம்
📐 பரப்பு (Area) என்றால் என்ன?
ஒரு இருபரிமாண வடிவத்தின் மேற்பரப்பை அல்லது அது ஆக்கிரமிக்கும் இடத்தை பரப்பு (Area) என்கிறோம்.
பரப்பு சதுர அலகுகளில் (Square Units) அளவிடப்படுகிறது.
📏 அலகுகள் (Units)
| நீள அலகு | பரப்பு அலகு |
|---|---|
| மீட்டர் (m) | சதுர மீட்டர் (m²) |
| சென்டிமீட்டர் (cm) | சதுர செ.மீ. (cm²) |
| கிலோமீட்டர் (km) | சதுர கி.மீ. (km²) |
| அடி (ft) | சதுர அடி (sq.ft) |
🔄 அலகு மாற்றங்கள் (Unit Conversions)
| மாற்றம் | மதிப்பு |
|---|---|
| 1 m² | 10000 cm² |
| 1 km² | 1000000 m² (10⁶ m²) |
| 1 hectare (ஹெக்டேர்) | 10000 m² |
| 1 acre (ஏக்கர்) | 4046.86 m² ≈ 4047 m² |
| 1 km² | 100 hectares |
| 1 sq.ft | 929.03 cm² ≈ 0.0929 m² |
📊 அடிப்படை வடிவங்கள்
1. சதுரம் (Square)
நான்கு பக்கங்களும் சமமான வடிவம்
பக்கம் = a எனில், பரப்பு = a²
2. செவ்வகம் (Rectangle)
எதிர் பக்கங்கள் சமமான வடிவம்
நீளம் = l, அகலம் = b எனில், பரப்பு = l × b
3. முக்கோணம் (Triangle)
மூன்று பக்கங்கள் கொண்ட வடிவம்
அடிப்பக்கம் = b, உயரம் = h எனில், பரப்பு = ½ × b × h
4. வட்டம் (Circle)
மையத்திலிருந்து சம தூரத்தில் உள்ள புள்ளிகள்
ஆரம் = r எனில், பரப்பு = πr²
📚 முக்கிய குறியீடுகள்
| குறியீடு | பொருள் | English |
|---|---|---|
| a | சதுரத்தின் பக்கம் | Side of Square |
| l | நீளம் | Length |
| b | அகலம் / அடிப்பக்கம் | Breadth / Base |
| h | உயரம் | Height |
| r | ஆரம் | Radius |
| d | விட்டம் | Diameter |
| π | பை = 22/7 அல்லது 3.14 | Pi |
| P | சுற்றளவு | Perimeter |
| A | பரப்பு | Area |
🎯 சுற்றளவு vs பரப்பு
| சுற்றளவு (Perimeter) | பரப்பு (Area) |
|---|---|
| வடிவத்தின் எல்லையின் நீளம் | வடிவத்தின் உள்ளே உள்ள இடம் |
| ஒரு பரிமாண அளவு (1D) | இரு பரிமாண அளவு (2D) |
| மீட்டர், செ.மீ. அலகுகள் | சதுர மீட்டர், சதுர செ.மீ. |
| வேலி போடுவதற்கு | தரை பரப்ப |
💡 நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை
- π (பை) = 22/7 = 3.14159... (வட்ட கணக்குகளுக்கு)
- √2 = 1.414 (சதுரத்தின் மூலைவிட்டம்)
- √3 = 1.732 (சமபக்க முக்கோணம்)
- விட்டம் = 2 × ஆரம் (d = 2r)
- சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் = a√2
- செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம் = √(l² + b²)
📐 பரப்பு சூத்திரங்கள் - அனைத்து வடிவங்கள்
TNPSC தேர்வுக்கு தேவையான அனைத்து பரப்பு சூத்திரங்களும்!
◼️ சதுரம் (Square)
| பரப்பு | A = a² | a = பக்கம் |
| சுற்றளவு | P = 4a | |
| மூலைவிட்டம் | d = a√2 | |
| பக்கம் (பரப்பிலிருந்து) | a = √A | |
| பக்கம் (சுற்றளவிலிருந்து) | a = P/4 | |
| பரப்பு (மூலைவிட்டத்தில்) | A = d²/2 |
▬ செவ்வகம் (Rectangle)
| பரப்பு | A = l × b | l = நீளம், b = அகலம் |
| சுற்றளவு | P = 2(l + b) | |
| மூலைவிட்டம் | d = √(l² + b²) | |
| நீளம் | l = A/b | |
| அகலம் | b = A/l |
🔺 முக்கோணம் (Triangle)
| பொது சூத்திரம் | A = ½ × b × h | b = அடிப்பக்கம், h = உயரம் |
| சுற்றளவு | P = a + b + c | a, b, c = பக்கங்கள் |
| ஹீரோன் சூத்திரம் | A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] | s = (a+b+c)/2 |
| சமபக்க முக்கோணம் | A = (√3/4) × a² | a = பக்கம் |
| இருசமபக்க முக்கோணம் | A = ¼ × b × √(4a² - b²) | a = சம பக்கம், b = அடி |
| செங்கோண முக்கோணம் | A = ½ × அடி × உயரம் |
⭕ வட்டம் (Circle)
| பரப்பு | A = πr² | r = ஆரம் |
| சுற்றளவு | C = 2πr = πd | d = விட்டம் |
| விட்டத்தில் பரப்பு | A = πd²/4 | |
| ஆரம் (பரப்பிலிருந்து) | r = √(A/π) | |
| ஆரம் (சுற்றளவிலிருந்து) | r = C/2π |
◗ அரைவட்டம் & வளையம் (Semicircle & Ring)
| வடிவம் | பரப்பு | சுற்றளவு |
|---|---|---|
| அரைவட்டம் | A = πr²/2 | P = πr + 2r = r(π + 2) |
| கால்வட்டம் | A = πr²/4 | P = πr/2 + 2r |
| வளையம் (Ring) | A = π(R² - r²) | R = வெளி ஆரம், r = உள் ஆரம் |
| வட்ட வில் (Sector) | A = (θ/360) × πr² | θ = மையக்கோணம் |
▰ இணைகரம் (Parallelogram)
| பரப்பு | A = b × h | b = அடிப்பக்கம், h = உயரம் |
| சுற்றளவு | P = 2(a + b) | a, b = அடுத்தடுத்த பக்கங்கள் |
| மூலைவிட்ட பரப்பு | A = ½ × d₁ × d₂ × sinθ | d₁, d₂ = மூலைவிட்டங்கள் |
◇ சாய்சதுரம் (Rhombus)
| பரப்பு | A = ½ × d₁ × d₂ | d₁, d₂ = மூலைவிட்டங்கள் |
| சுற்றளவு | P = 4a | a = பக்கம் |
| பக்கம் | a = ½ × √(d₁² + d₂²) |
⏢ சரிவகம் (Trapezium)
| பரப்பு | A = ½ × (a + b) × h | a, b = இணை பக்கங்கள், h = உயரம் |
| சுற்றளவு | P = a + b + c + d | நான்கு பக்கங்களின் கூடுதல் |
⬡ ஒழுங்கான பலகோணங்கள் (Regular Polygons)
| வடிவம் | பரப்பு |
|---|---|
| சமபக்க முக்கோணம் | A = (√3/4) × a² |
| ஒழுங்கான அறுகோணம் | A = (3√3/2) × a² |
| n-பக்க பலகோணம் | A = ¼ × n × a² × cot(π/n) |
📐 பாதை சம்பந்தமான சூத்திரங்கள் (Pathway)
பாதை பரப்பு = 2w(l + b - 2w)
(w = பாதை அகலம், l = நீளம், b = அகலம்)
பாதை பரப்பு = 2w(l + b + 2w)
பாதை பரப்பு = 4w(a + w) [வெளியே]
பாதை பரப்பு = 4w(a - w) [உள்ளே]
🔄 முக்கிய உறவுகள்
- சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் d எனில்: பரப்பு = d²/2, பக்கம் = d/√2
- வட்டத்தில்: விட்டம் d = 2r, சுற்றளவு = πd, பரப்பு = πd²/4
- சமபக்க முக்கோணத்தில்: உயரம் h = (√3/2) × a
- சாய்சதுரத்தில்: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)²
📝 பரப்பு - தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
TNPSC தேர்வுக்கு முக்கியமான 10 கேள்விகள்
கேள்வி 1: சதுரம் (Square)
கேள்வி: ஒரு சதுரத்தின் சுற்றளவு 64 செ.மீ. எனில், அதன் பரப்பு என்ன?
தீர்வு:
சுற்றளவு P = 64 செ.மீ.
பக்கம் a = P/4 = 64/4 = 16 செ.மீ.
பரப்பு A = a² = 16² = 256 சதுர செ.மீ.
கேள்வி 2: செவ்வகம் (Rectangle)
கேள்வி: ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் 15 மீ., அகலம் 8 மீ. எனில், அதன் பரப்பு மற்றும் மூலைவிட்டத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
நீளம் l = 15 மீ., அகலம் b = 8 மீ.
பரப்பு A = l × b = 15 × 8 = 120 சதுர மீ.
மூலைவிட்டம் d = √(l² + b²) = √(225 + 64) = √289 = 17 மீ.
கேள்வி 3: முக்கோணம் (Triangle)
கேள்வி: ஒரு முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் 24 செ.மீ., உயரம் 15 செ.மீ. எனில், பரப்பு காண்க.
தீர்வு:
அடிப்பக்கம் b = 24 செ.மீ., உயரம் h = 15 செ.மீ.
பரப்பு A = ½ × b × h
A = ½ × 24 × 15 = 180 சதுர செ.மீ.
கேள்வி 4: சமபக்க முக்கோணம் (Equilateral Triangle)
கேள்வி: சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கம் 14 செ.மீ. எனில், பரப்பு காண்க.
தீர்வு:
பக்கம் a = 14 செ.மீ.
பரப்பு A = (√3/4) × a²
A = (√3/4) × 14² = (√3/4) × 196
A = 49√3 = 49 × 1.732 = 84.87 சதுர செ.மீ.
கேள்வி 5: வட்டம் (Circle)
கேள்வி: வட்டத்தின் ஆரம் 14 செ.மீ. எனில், பரப்பு மற்றும் சுற்றளவு காண்க. (π = 22/7)
தீர்வு:
ஆரம் r = 14 செ.மீ.
பரப்பு A = πr² = (22/7) × 14 × 14
A = 22 × 2 × 14 = 616 சதுர செ.மீ.
சுற்றளவு C = 2πr = 2 × (22/7) × 14 = 88 செ.மீ.
கேள்வி 6: வளையம் (Ring)
கேள்வி: வளையத்தின் வெளி ஆரம் 21 செ.மீ., உள் ஆரம் 14 செ.மீ. எனில், வளையத்தின் பரப்பு என்ன?
தீர்வு:
வெளி ஆரம் R = 21 செ.மீ., உள் ஆரம் r = 14 செ.மீ.
வளைய பரப்பு = π(R² - r²)
= (22/7) × (21² - 14²)
= (22/7) × (441 - 196)
= (22/7) × 245 = 22 × 35 = 770 சதுர செ.மீ.
கேள்வி 7: சாய்சதுரம் (Rhombus)
கேள்வி: சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் 16 செ.மீ. மற்றும் 12 செ.மீ. எனில், பரப்பு மற்றும் பக்கம் காண்க.
தீர்வு:
d₁ = 16 செ.மீ., d₂ = 12 செ.மீ.
பரப்பு A = ½ × d₁ × d₂ = ½ × 16 × 12 = 96 சதுர செ.மீ.
பக்கம் a = ½ × √(d₁² + d₂²) = ½ × √(256 + 144)
a = ½ × √400 = ½ × 20 = 10 செ.மீ.
கேள்வி 8: சரிவகம் (Trapezium)
கேள்வி: சரிவகத்தின் இணை பக்கங்கள் 20 செ.மீ. மற்றும் 30 செ.மீ., உயரம் 15 செ.மீ. எனில், பரப்பு காண்க.
தீர்வு:
இணை பக்கங்கள் a = 20 செ.மீ., b = 30 செ.மீ., உயரம் h = 15 செ.மீ.
பரப்பு A = ½ × (a + b) × h
A = ½ × (20 + 30) × 15
A = ½ × 50 × 15 = 375 சதுர செ.மீ.
கேள்வி 9: ஹீரோன் சூத்திரம் (Heron's Formula)
கேள்வி: முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 13 செ.மீ., 14 செ.மீ., 15 செ.மீ. எனில், பரப்பு காண்க.
தீர்வு:
பக்கங்கள் a = 13, b = 14, c = 15
அரைச்சுற்றளவு s = (a + b + c)/2 = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21
s - a = 21 - 13 = 8
s - b = 21 - 14 = 7
s - c = 21 - 15 = 6
பரப்பு A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] = √(21 × 8 × 7 × 6)
A = √7056 = 84 சதுர செ.மீ.
கேள்வி 10: பாதை (Pathway)
கேள்வி: 50 மீ. நீளமும் 40 மீ. அகலமும் உள்ள செவ்வக மைதானத்தின் வெளிப்புறமாக 2.5 மீ. அகலமுள்ள பாதை உள்ளது. பாதையின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
நீளம் l = 50 மீ., அகலம் b = 40 மீ., பாதை அகலம் w = 2.5 மீ.
முறை 1: நேரடி சூத்திரம்
வெளிப்புற பாதை பரப்பு = 2w(l + b + 2w)
= 2 × 2.5 × (50 + 40 + 5)
= 5 × 95 = 475 சதுர மீ.
முறை 2: வேறுபாடு
வெளி செவ்வகம் = (50 + 5) × (40 + 5) = 55 × 45 = 2475 சதுர மீ.
உள் செவ்வகம் = 50 × 40 = 2000 சதுர மீ.
பாதை = 2475 - 2000 = 475 சதுர மீ.
📚 கூடுதல் பயிற்சி கேள்விகள்
- சதுரத்தின் மூலைவிட்டம் 10√2 செ.மீ. எனில், பரப்பு = 100 சதுர செ.மீ.
- வட்டத்தின் சுற்றளவு 44 செ.மீ. எனில், பரப்பு = 154 சதுர செ.மீ.
- செவ்வகத்தின் பரப்பு 84 சதுர மீ., அகலம் 7 மீ. எனில், நீளம் = 12 மீ.
- இணைகரத்தின் அடிப்பக்கம் 18 செ.மீ., உயரம் 12 செ.மீ. எனில், பரப்பு = 216 சதுர செ.மீ.
- அரைவட்டத்தின் ஆரம் 7 செ.மீ. எனில், பரப்பு = 77 சதுர செ.மீ.
⚡ பரப்பு - குறுக்கு வழிகள்
TNPSC தேர்வில் நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும் சூப்பர் ட்ரிக்ஸ்!
🚀 Trick 1: சதுரம் - விரைவு கணக்கு
மூலைவிட்டம் d எனில்: பரப்பு = d²/2
எடுத்துக்காட்டு: சுற்றளவு = 40 செ.மீ.
பரப்பு = 40²/16 = 1600/16 = 100 சதுர செ.மீ.
🚀 Trick 2: செவ்வகம் - மூலைவிட்ட Shortcut
பக்கங்கள் 3k, 4k எனில், மூலைவிட்டம் = 5k
5:12:13 விகித செவ்வகம்:
பக்கங்கள் 5k, 12k எனில், மூலைவிட்டம் = 13k
எடுத்துக்காட்டு: நீளம் = 12 மீ., அகலம் = 9 மீ.
இது 3:4 விகிதம் (9:12 = 3:4), k = 3
மூலைவிட்டம் = 5 × 3 = 15 மீ.
🚀 Trick 3: வட்டம் - முக்கிய மதிப்புகள்
| ஆரம் (r) | சுற்றளவு (2πr) | பரப்பு (πr²) |
|---|---|---|
| 7 | 44 | 154 |
| 14 | 88 | 616 |
| 21 | 132 | 1386 |
| 28 | 176 | 2464 |
| 35 | 220 | 3850 |
🚀 Trick 4: பக்கம் மாற்றம் → பரப்பு மாற்றம்
செவ்வகம்: நீளம் x%, அகலம் y% அதிகரிப்பு → பரப்பு (x + y + xy/100)% அதிகரிப்பு
எடுத்துக்காட்டு: சதுரத்தின் பக்கம் 10% அதிகரிப்பு
பரப்பு அதிகரிப்பு = 2(10) + 100/100 = 20 + 1 = 21%
🚀 Trick 5: ஆரம்/விட்டம் மாற்றம்
சுற்றளவு → x% அதிகரிப்பு
பரப்பு → (2x + x²/100)% அதிகரிப்பு
எடுத்துக்காட்டு: ஆரம் இரட்டிப்பு (100% அதிகரிப்பு)
சுற்றளவு = 100% = இரட்டிப்பு
பரப்பு = 2(100) + 10000/100 = 200 + 100 = 300% = நான்கு மடங்கு
🚀 Trick 6: முக்கோண நினைவாற்றல்
√3/2 = 0.866 (சமபக்க உயரம்)
| சமபக்க பக்கம் (a) | பரப்பு = (√3/4)a² |
|---|---|
| 2 | √3 = 1.732 |
| 4 | 4√3 = 6.93 |
| 6 | 9√3 = 15.59 |
| 10 | 25√3 = 43.3 |
🚀 Trick 7: பைத்தகோரஸ் மும்மைகள்
| மும்மை | பயன்பாடு |
|---|---|
| 3, 4, 5 | அடிப்படை (மடங்குகள்: 6,8,10; 9,12,15; 12,16,20) |
| 5, 12, 13 | மடங்குகள்: 10,24,26; 15,36,39 |
| 8, 15, 17 | மடங்குகள்: 16,30,34 |
| 7, 24, 25 | மடங்குகள்: 14,48,50 |
🚀 Trick 8: சரிவகம் - விரைவு முறை
= [(a + b)/2] × h
எடுத்துக்காட்டு: இணை பக்கங்கள் 16 செ.மீ., 24 செ.மீ., உயரம் 10 செ.மீ.
சராசரி அகலம் = (16 + 24)/2 = 20 செ.மீ.
பரப்பு = 20 × 10 = 200 சதுர செ.மீ.
🚀 Trick 9: பாதை விரைவு சூத்திரங்கள்
| வகை | சூத்திரம் |
|---|---|
| செவ்வகம் வெளியே பாதை | 2w(l + b + 2w) |
| செவ்வகம் உள்ளே பாதை | 2w(l + b - 2w) |
| சதுரம் வெளியே பாதை | 4w(a + w) |
| சதுரம் உள்ளே பாதை | 4w(a - w) |
| குறுக்கு பாதைகள் (+) | w(l + b - w) |
🚀 Trick 10: ஹீரோன் சூத்திரம் Shortcut
(s-a), (s-b), (s-c) கணக்கிடு → பெருக்கு → √ எடு
எடுத்துக்காட்டு: பக்கங்கள் 5, 6, 7
s = (5+6+7)/2 = 9
s-a=4, s-b=3, s-c=2
பரப்பு = √(9×4×3×2) = √216 = 6√6 ≈ 14.7 சதுர அலகுகள்
📊 TNPSC அடிக்கடி கேட்கப்படும் வகைகள்
| கேள்வி வகை | குறுக்கு வழி |
|---|---|
| சுற்றளவிலிருந்து பரப்பு | சதுரம்: P²/16, வட்டம்: C²/4π |
| மூலைவிட்டத்தில் பரப்பு | சதுரம்: d²/2, சாய்சதுரம்: d₁d₂/2 |
| % மாற்றம் | x% → (2x + x²/100)% பரப்பு |
| வட்ட சுற்றளவு → பரப்பு | A = C²/4π = Cr/2 |
| பாதை பரப்பு | வெளி: 2w(l+b+2w), உள்: 2w(l+b-2w) |
💡 முக்கிய நினைவாற்றல் குறிப்புகள்
- π = 22/7 - வட்ட கணக்குகளுக்கு (ஆரம் 7 மடங்கு எனில்)
- π = 3.14 - பிற சந்தர்ப்பங்களில்
- √2 = 1.414 - சதுர மூலைவிட்டம்
- √3 = 1.732 - சமபக்க முக்கோணம்
- √3/4 = 0.433 - சமபக்க பரப்பு குணகம்
- வட்டம்: r ஐ 2 மடங்கு → பரப்பு 4 மடங்கு
- சதுரம்: a ஐ 2 மடங்கு → பரப்பு 4 மடங்கு
- 1 hectare = 10000 m²
பொது அறிவு
அனைத்து பகுதிகளும்
பொது அறிவியல்
பேரண்டத்தின் இயல்பு , இயற்பியல் , இயந்திரவியல், மின்னியல், க...
நடப்பு நிகழ்வுகள்
அண்மை நிகழ்வுகளின் தொகுப்பு , தேசியச் சின்னங்கள் – மாநிலங்கள...
புவியியல்
புவி அமைவிடம் – இயற்கை அமைவுகள் – பருவமழை, மழைப் பொழிவு, வான...
இந்தியாவின் வரலாறு மற்றும் பண்பாடு
சிந்து சமவெளி நாகரிகம் – குப்தர்கள், தில்லி சுல்தான்கள், முக...
இந்திய அரசியலமைப்பு
இந்திய அரசியலமைப்பு – ஆசியலமைப்பின் முகவுரை – அரசியலமைப்பின்...
இந்தியப் பொருளாதாரம்
இந்திய பொருளாதாரத்தின் இயல்புகள் – ஐந்தாண்டு திட்டங்கள் – ஒர...
இந்திய தேசிய இயக்கம்
தேசிய மறுமலர்ச்சி , இந்திய தேசிய காங்கிரஸ் , பி.ஆர்.அம்பேத்க...
தமிழ்நாட்டின் வரலாறு, பண்பாடு, மரபு மற்றும் சமூக – அரசியல் இயக்கங்கள்
தமிழ் சமூதாய வரலாறு , திருக்குறள் , தமிழ்நாட்டின் பல்வேறு சீ...
தமிழகத்தில் வளர்ச்சி நிர்வாகம்
சமூக நீதியும் சமூக நல்லிணக்கமும் , தமிழகத்தின் கல்வி மற்றும்...
திறனறிவும் மனக்கணக்கு நுண்ணறிவும்
சுருக்குதல் – விழுக்காடு – மீப்பெரு பொதுக் காரணி – மீச்சிறு ...